Что такое обратная геодезическая задача
Есть координаты двух точек, а нужно узнать, как далеко одна от другой и в какую сторону смотрит линия. Так по ГОСТ и определена обратная геодезическая задача: длина и направление линии по координатам её начальной и конечной точек (ГОСТ 22268-76, ст. 63). На стройке это обычная история. Геодезист оставил пункты опорной сети, на разбивочном чертеже стоят координаты осей здания. Чтобы вынести точку тахеометром полярным способом, с пункта надо знать направление и расстояние.
Ответ состоит из двух чисел:
- Горизонтальное проложение d. Длина проекции линии на горизонтальную плоскость (ГОСТ 22268-76, ст. 58), а не наклонная длина по рельефу.
- Дирекционный угол α. Угол между линией и северным направлением оси абсцисс, отсчитанный по часовой стрелке (ГОСТ 22268-76, ст. 59). От 0 до 360°, сами 360° уже снова 0°.
Оси в геодезии стоят не так, как в школе: X смотрит на север, Y на восток. Если поменять их местами, направление уйдёт в соседнюю четверть.
Обратная геодезическая задача: формулы
Решение обратной геодезической задачи идёт в четыре шага:
- Приращения: ΔX = XB − XA, ΔY = YB − YA. Знак не теряем.
- Расстояние: d = √(ΔX² + ΔY²).
- Румб (острый угол между линией и ближайшим концом оси X): r = arctg |ΔY / ΔX|.
- Дирекционный угол по знакам ΔX и ΔY, таблица ниже.
Градусы, минуты и секунды получают так: целые градусы, дробную часть × 60 дают минуты, остаток × 60 дают секунды (ГОСТ 8.417-2024, табл. 5). Калькулятор показывает и десятичные градусы, и запись вида 120° 21′ 44″.
| Что | Норма | Откуда |
|---|---|---|
| Полный круг дирекционного угла, счёт от севера по часовой | 360 ° | ГОСТ 22268-76, ст. 59 |
| Градусов в радиане: 180 / π | 57,296 ° | ГОСТ 8.417-2024, табл. 5: 1° = π/180 рад |
| Минут в градусе и секунд в минуте | 60 | ГОСТ 8.417-2024, табл. 5 |
Вычисление дирекционного угла по координатам: румб и четверть
Арктангенс даёт только румб. В какую четверть смотрит линия, говорят знаки приращений. Для примера взят египетский треугольник: |ΔX| = 40 м, |ΔY| = 30 м, d = 50 м, румб 36° 52′ 12″.
| ΔX | ΔY | Четверть | Формула | Пример α |
|---|---|---|---|---|
| +40 | +30 | СВ | α = r | 36° 52′ 12″ |
| −40 | +30 | ЮВ | α = 180° − r | 143° 07′ 48″ |
| −40 | −30 | ЮЗ | α = 180° + r | 216° 52′ 12″ |
| +40 | −30 | СЗ | α = 360° − r | 323° 07′ 48″ |
Если одно приращение равно нулю, линия лежит по оси. ΔY = 0 при ΔX плюс даёт 0°, при ΔX минус 180°. ΔX = 0 при ΔY плюс даёт 90°, при ΔY минус 270°. При ΔX = 0 отношение ΔY / ΔX не считается, на ноль не делят. Калькулятор такие линии разбирает сам.
Обратный дирекционный угол, с B на A, отличается ровно на 180°. Он нужен, когда тахеометр стоит на второй точке.
Пример решения обратной геодезической задачи
Пункт ОП-3: X = 2450,380, Y = 1320,640. Точка 1/А по чертежу: X = 2412,150, Y = 1385,900. Приращения: ΔX = −38,230 м, ΔY = +65,260 м. Расстояние √(1461,53 + 4258,87) = 75,633 м. Румб arctg(65,26 / 38,23) = 59° 38′ 16″. ΔX минус, ΔY плюс, значит ЮВ: α = 180° − 59° 38′ 16″ = 120° 21′ 44″. Обратное направление 300° 21′ 44″. С пункта ОП-3 точку 1/А выносят по α = 120° 21′ 44″ и 75,633 м по горизонтали.
Прямая и обратная геодезическая задача
Прямая задача делает обратный ход. По координатам начальной точки, длине и направлению линии находят координаты конечной (ГОСТ 22268-76, ст. 62):
- XB = XA + d · cos α;
- YB = YA + d · sin α.
Удобная проверка. Переключите калькулятор на прямую задачу, введите 75,633 м и 120° 21′ 44″ из примера. Получится X = 2412,150, Y = 1385,900, те же координаты точки 1/А. Расхождение в доли миллиметра даёт округление угла до секунды.
Дирекционный угол и азимут: в чём разница
Оба угла отсчитывают от севера по часовой стрелке. Азимут берут от меридиана самой точки (ГОСТ 22268-76, ст. 55). Дирекционный угол берут от линии, параллельной оси X (ст. 59). Угол между меридианом и этой линией называется сближением меридианов (ст. 61). По координатам из плана получается именно дирекционный угол. Чтобы перейти к азимуту, сближение меридианов надо знать для своей точки.
Есть ещё магнитный азимут. Его отсчитывают от магнитного меридиана, то есть по стрелке компаса. От истинного азимута он отличается на склонение магнитной стрелки, и склонение своё у каждой местности. Для выноса осей по координатам компас не годится: ошибка в градус на 75 м даёт уход больше метра.
Частые ошибки
- Путают X и Y. В геодезии X это север. Привычка «X вправо» поворачивает линию.
- Берут atan без знаков. Для ΔX = −40, ΔY = −30 арктангенс отношения тот же, что для +40 и +30, а линия смотрит в другую сторону: 216° 52′ 12″ вместо 36° 52′ 12″.
- Смешивают системы координат. Местная строительная сетка и государственная система дают разные числа для одной точки. Обе точки должны быть в одной.
- Не проверяют на месте. После выноса промерьте рулеткой расстояние между вынесенными точками и сравните с расстоянием между этими точками, посчитанным по их координатам с чертежа (тот же калькулятор, обратная задача).
Перед фундаментом выносят оси. Сколько стоят сами работы по фундаменту, видно заранее: на портале есть настоящие сметы компаний и цены работ в вашем городе. В смете, которую компания ведёт в программе RemontCRM, цену фиксируют до начала работ.